sinh, cosh và tanh
csch, sech và coth
Công thức biểu diễn các hàm hyperbolic:
sinh x = e x − e − x 2 = e 2 x − 1 2 e x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}
cosh x = e x + e − x 2 = e 2 x + 1 2 e x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}
tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
coth x = cosh x sinh x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
sech x = ( cosh x ) − 1 = 2 e x + e − x = 2 e x e 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
csch x = ( sinh x ) − 1 = 2 e x − e − x = 2 e x e 2 x − 1 {\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}
Các hàm hyperbolic có thể biểu diễn qua số phức:
sinh x = − i sin i x {\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
cosh x = cos i x {\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
tanh x = − i tan i x {\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
coth x = i cot i x {\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
sech x = sec i x {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
csch x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
với i là đơn vị ảo định nghĩa là i2 = −1.
Dạng phức trong các định nghĩa trên được dẫn ra từ công thức Euler.
Chú ý rằng, theo định nghĩa, sinh2 x có nghĩa là (sinh x)2, chứ không phải sinh(sinh x); và điều này tương tự cho các hàm hyperbolic khác.
